Persamaan schrődinger

A.    Persamaan Schrődinger Bergantung Waktu

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang ψ bersesuaian dengan variabel gelombang y pada umumnya. Namun, ψ tidak seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, ψ dianggap dalam arah x dinyatakan oleh :

ψ = Ae^-iω^(t-x/v)  …………………………………………………………….. (1)

jika ω dalam rumus tersebut dengan 2πν dan v dengan λν, diperoleh :

ψ = Ae^-2πνi^(νt-x/λ) …………………………………………………………… (2)

karena telah diketahui hubungan ν dan λ dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh ψ.

Karena :

                                    E = hν = 2ħυ

Dan

                                    λ=

Diperoleh :

ψ = Ae^{-(i/ħ)(Et-px)} …………………………………………………………… (3)

Persamaan 3 merupakan pemerian matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x, sama seperti persamaan

y= Ae^-iω(t-x/υ) yang menyatakan kuantitas kompleks yang lebih dikenal dengan rumus

y= A cos ω yang merupakam pemerian dari pergeseran harmonik gelombang bebas sepanjang tali terpentang.

Pernyataan fungsi gelombang ψ pada persamaan 3 hanya untuk partikel yang bergerak bebas. Persamaan gelombang ψ dapat didiferensialkan untuk memperoleh persamaan Schrodinger, dengan mendiferensialkan persamaan 3 dua kali terhadap  x menghasilkan :

 ……………………………………………………………….(4)

Dan sekali terhadap t, menghasilkan

 …………………………………………………………………(5)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel ialah jumlah dari energi kinetik p²/2m dan energi potensial Ep, dengan Ep pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :

E =   ………………………………………………………………..(6)

Fungsi Ep menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel, misalnya dalam kasus elektron dalam atom hydrogen, hanya medan inti yang diperhitungkan. Kalikan kedua suku pada persamaan (6) dengan fungsi gelombang ψ menghasilkan :
Eψ =  …………………………………………………………….(7)

Dari persamaan (4) dan (5) dilihat bahwa :

Eψ =  ………………………………………………………………….(8)

Dan

P²ψ = ……………………………………………………………….(9)

Substitusikan pernyataan untuk Eψ dan p²ψ dalam persamaan (7) diperoleh :

ψ……………….(10)          (persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi).

Persamaan (10) adalah persamaan schrodinger yang bergantung waktu, dalam tiga dimensi persamaan schrodinger bewrgantung waktu ialah :

Dimana energi potensial partikel E_p merupakan fungsi dari x, y, z dan t.  Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial E_p.   

B.     Persmaan Schrődinger Bebas waktu

Jika fungsi potensial tidak bergantung waktu, bagaimanakah bentuk persamaan Schroedinger untuk kasus dengan potensial bebas waktu V(x)?

Untuk kasus seperti itu persamaan gelombang Schroedinger

 Bila dilakukan separasi variable (pemisahan peubah) dalam solusi persamaan di atas sehingga
𝜓  lalu substitusikan dalam persamaan Schroedinger bebas waktu menghasilkan :

Dan dapat ditulis dalam bentuk :

Dari persamaan di atas jelas terlihat bahwa ruas kiri dari persamaan tersebut hanya mengandung variable x, dan ruas tengah hanya mengandung variable t. Sedangkan persamaan itu berlaku untuk semua harga x maupun t. Hal ini hanya berlaku jika ruas kiri dan ruas tengah selalu bernilai  

Dengan demikian dapat diperoleh dua persamaan berikut :

Solusi dari persamaan dengan  G = E, yang merupakan energy total partikel yang direpresentasikan oleh fungsi gelombang . Berikut penjelasannya :

Perhatikan persamaan   

Dan  

Lalu bandingkan dengan persamaan :

, maka dapat diungkapkan : sehingga otomatis nilai G sama besarnya dengan energi total partikel E.  Dengan demikian untuk kasus dengan fungsi potensial tidak bergantung waktu, diperoleh persamaan Schroedinger bebas waktu (PSBW):

Dengan fungsi gelombang total :

Persamaan
, yang dapat ditulis sebagai , dinamakan persamaan harga eigen, dan harga tetap E yang merupakan solusi yang dikenal sebagai nama persamaan karakteristik, suatu topik penting dalam pembelajaran tentang persamaan diferensial.